Національний науково-дослідний університет

Кафедра прикладної геології

Реферат з вищої математики

На тему: «Основні елементарні функції,

їх властивості та графіки»

Виконав:

Перевірив:

викладач

Визначення. Функція, задана формулою у=а (де а>0, а≠1), називається показовою функцією з основою а.

Сформулюємо основні властивості показової функції:

1. Область визначення - безліч (R) всіх дійсних чисел.

2. Область значень – безліч (R+) всіх позитивних дійсних чисел.

3. При а > 1 функція зростає на всій числовій прямій; при 0<а<1 функция убывает.

4. Є функцією загального виду.

, на інтервалі xÎ [-3;3] , на інтервалі xÎ [-3;3]

Функція виду у(х)=х n , де n – число ÎR, називається статечною функцією. Число n може набувати ралічних значень: як цілі, так і дробові, як парні, так і непарні. Залежно від цього, статечна функція матиме різний вигляд. Розглянемо окремі випадки, які є статечними функціями та відображають основні властивості даного виду кривих у наступному порядку: статечна функція у=х² (функція з парним показником ступеня – парабола), статечна функція у=х³ (функція з непарним показником ступеня – кубічна парабола) функція у = √х (х у ступені ½) (функція з дробовим показником ступеня), функція з негативним цілим показником (гіпербол).

Ступінна функція у=х²

1. D(x)=R – функція визначена попри числової осі;

2. E(y)= і зростає на проміжку

Ступінна функція у=х³

1. Графік функції у = х називається кубічною параболою. Ступінна функція у=х³ має такі властивості:

2. D(x)=R – функція визначена попри всі числової осі;

3. E(y)=(-∞;∞) – функція набуває всіх значень на своїй області визначення;

4. При х = 0 у = 0 - функція проходить через початок координат O (0; 0).

5. Функція зростає по всій області визначення.

6. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат).

, на інтервалі xÎ [-3;3]

Залежно від числового множника, що стоїть перед х³, функція може бути крутою/пологою та зростати/зменшуватися.

Ступінна функція з цілим негативним показником:

Якщо показник ступеня n є непарним, то графік такої статечної функції називається гіперболою. Ступінна функція з цілим негативним показником ступеня має такі властивості:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для будь-якого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), якщо n – непарне число; E(y)=(0;∞), якщо n – парне число;

3. Функція зменшується по всій області визначення, якщо n – непарне число; функція зростає на проміжку (-∞;0) і зменшується на проміжку (0;∞), якщо n – парне число.

4. Функція є непарною (симетрична щодо початку координат), якщо n – непарне число; функція є парною, якщо n – парне число.

5. Функція проходить через точки (1;1) та (-1;-1), якщо n – непарне число і через точки (1;1) та (-1;1), якщо n – парне число.

, на інтервалі xÎ [-3;3]

Ступінна функція з дробовим показником

Ступінна функція з дробовим показником виду (картинка) має графік функції, зображений малюнку. Ступінна функція з дробовим показником ступеня має такі властивості: (картинка)

1. D(x) ÎR, якщо n – непарне число та D(x)= , на інтервалі xÎ , на інтервалі xÎ [-3;3]

Логарифмічна функція у = log a x має такі властивості:

1. Область визначення D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значень E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функція ні парна, ні непарна (загального вигляду).

4. Функція зростає на проміжку (0; + ∞) при a > 1, зменшується на (0; + ∞) при 0< а < 1.

Графік функції у = log a x може бути отриманий з графіка функції у = а х за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х. На малюнку 9 побудовано графік логарифмічної функції для а > 1, але в малюнку 10 - для 0< a < 1.

; на інтервалі x ; на інтервалі xÎ

Функції y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х називають тригонометричними функціями.

Функції у = sin х, у = tg х, у = ctg х непарні, а функція у = соs х парна.

Функція y = sin (x).

1. Область визначення D(x) ÎR.

2. Область значень E(y) Î [- 1; 1].

3. Функція періодична; основний період дорівнює 2?

4. Функція непарна.

5. Функція зростає на проміжках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] і зменшується на проміжках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

Графік функції у = sin (х) зображено малюнку 11.

Довжина відрізка координатної осі знаходиться за формулою:

Довжина відрізка на координатній площині шукається за формулою:

Для знаходження довжини відрізка у тривимірній системі координат використовується така формула:

Координати середини відрізка (для координатної осі використовується лише перша формула, для координатної площини - перші дві формули, для тривимірної системи координат - усі три формули) обчислюються за формулами:

Функція– це відповідність виду y= f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої змінної величини x(аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення іншої змінної величини, y(Залежної змінної, іноді це значення просто називають значенням функції). Зверніть увагу, що функція передбачає, що одне значення аргументу хможе відповідати лише одне значення залежної змінної у. При цьому одне й те саме значення уможе бути отримано за різних х.

Область визначення функції– це значення незалежної змінної (аргументу функції, зазвичай це х), у яких функція визначено, тобто. її значення існує. Позначається область визначення D(y). За великим рахунком, Ви вже знайомі з цим поняттям. Область визначення функції інакше називається областю допустимих значень, чи ОДЗ, що Ви давно вмієте знаходити.

Область значень функції– це всі можливі значення залежної змінної цієї функції. Позначається Е(у).

Функція зростаєна проміжку, у якому більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшуєтьсяна проміжку, у якому більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Проміжки знаковості функції– це проміжки незалежної змінної, у яких залежна змінна зберігає свій позитивний чи негативний знак.

Нулі функції– це такі значення аргументу, у яких величина функції дорівнює нулю. У цих точках графік функції перетинає вісь абсцис (вісь ОХ). Найчастіше необхідність знайти нулі функції означає необхідність просто вирішити рівняння. Також часто необхідність знайти проміжки знаковості означає необхідність просто вирішити нерівність.

функцію y = f(x) називають парної х

Це означає, що з будь-яких протилежних значень аргументу, значення парної функції рівні. Графік парної функції завжди симетричний щодо осі ординат ОУ.

функцію y = f(x) називають непарноюякщо вона визначена на симетричній множині і для будь-якого хв галузі визначення виконується рівність:

Це означає, що для будь-яких протилежних значень аргументу значення непарної функції також протилежні. Графік непарної функції завжди симетричний щодо початку координат.

Сума коренів парної та непарної функцій (точок перетину осі абсцис ОХ) завжди дорівнює нулю, т.к. на кожен позитивний корінь хприпадає негативний корінь – х.

Важливо: деяка функція необов'язково має бути парною чи непарною. Існує безліч функцій, що не є ні парними ні непарними. Такі функції називаються функціями загального виглядуі для них не виконується жодна з рівностей або властивостей наведених вище.

Лінійною функцієюназивають функцію, яку можна задати формулою:

Графік лінійної функції є прямою і в загальному випадку виглядає наступним чином (наведено приклад для випадку коли k> 0, у разі функція зростаюча; для випадку k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Графік квадратичної функції (Парабола)

Графік параболи визначається квадратичною функцією:

Квадратична функція, як і будь-яка інша функція, перетинає вісь ОХ в точках є її корінням: ( x 1; 0) та ( x 2; 0). Якщо коріння немає, значить квадратична функція вісь ОХ не перетинає, якщо корінь один, значить у цій точці ( x 0; 0) квадратична функція лише стосується осі ОХ, але з перетинає її. Квадратична функція завжди перетинає вісь OY у точці з координатами: (0; c). Графік квадратичної функції (парабола) може виглядати так (на малюнку приклади, які далеко не вичерпують всі можливі види парабол):

При цьому:

• якщо коефіцієнт a> 0, функції y = ax 2 + bx + c, то гілки параболи спрямовані вгору;
• якщо ж a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координати вершини параболи можуть бути обчислені за такими формулами. Ікс вершини (p- на рисунках вище) параболи (або точка в якій квадратний тричлен досягає свого найбільшого чи найменшого значення):

Гравець вершини (q- на рисунках вище) параболи або максимальне, якщо гілки параболи спрямовані вниз ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), значення квадратного тричлена:

Графіки інших функцій

Ступіньною функцією

Наведемо кілька прикладів графіків статечних функцій:

Назад пропорційною залежністюназивають функцію, задану формулою:

Залежно від знаку числа kграфік обернено пропорційної залежності може мати два важливі варіанти:

Асимптота- це лінія, до якої лінія графіка функції нескінченно близько наближається, але з перетинає. Асимптотами для графіків зворотної пропорційності наведених малюнку вище є осі координат, яких графік функції нескінченно близько наближається, але з перетинає їх.

Показовою функцієюз основою аназивають функцію, задану формулою:

aграфік показової функції може мати два важливі варіанти (наведемо також приклади, див. нижче):

Логарифмічною функцієюназивають функцію, задану формулою:

Залежно від того більше чи менше одиниці число aграфік логарифмічної функції може мати два важливі варіанти:

Графік функції y = |x| виглядає так:

Графіки періодичних (тригонометричних) функцій

Функція у = f(x) називається періодичноїякщо існує таке, нерівне нулю, число Т, що f(x + Т) = f(x), для будь-якого хз області визначення функції f(x). Якщо функція f(x) є періодичною з періодом T, то функція:

де: A, k, b- Постійні числа, причому kне дорівнює нулю, також періодична з періодом T 1 який визначається формулою:

Більшість прикладів періодичних функцій – це тригонометричні функції. Наведемо графіки основних тригонометричних функцій. На наступному малюнку зображено частину графіка функції y= sin x(весь графік необмежено триває вліво та вправо), графік функції y= sin xназивають синусоїдою:

Графік функції y= cos xназивається косінусоїдою. Цей графік зображено на малюнку. Так як і графік синуса він нескінченно продовжується вздовж осі ОХ вліво та вправо:

Графік функції y= tg xназивають тангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ ліворуч і праворуч.

Ну і нарешті, графік функції y= ctg xназивається котангенсоідою. Цей графік зображено на малюнку. Як і графіки інших періодичних та тригонометричних функцій, цей графік необмежено далеко повторюється вздовж осі ОХ вліво та вправо.

• Назад
• Вперед

Як успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики?

Для того щоб успішно підготуватися до ЦТ з фізики та математики, серед іншого, необхідно виконати три найважливіші умови:

1. Вивчити всі теми та виконати всі тести та завдання наведені у навчальних матеріалах на цьому сайті. Для цього потрібно всього нічого, а саме: присвячувати підготовці до ЦТ з фізики та математики, вивченню теорії та вирішенню завдань по три-чотири години щодня. Справа в тому, що ЦТ це іспит, де мало просто знати фізику чи математику, потрібно ще вміти швидко і без збоїв вирішувати велику кількість завдань з різних тем та різної складності. Останньому навчитися можна лише вирішивши тисячі завдань.
2. Вивчити всі формули та закони у фізиці, і формули та методи в математиці . Насправді, виконати це теж дуже просто, необхідних формул із фізики всього близько 200 штук, а з математики навіть трохи менше. У кожному з цих предметів є близько десятка стандартних методів вирішення завдань базового рівня складності, які теж цілком можна вивчити, і таким чином, абсолютно на автоматі і без труднощів вирішити в потрібний момент більшу частину ЦТ. Після цього Вам залишиться подумати лише над найскладнішими завданнями.
3. Відвідати всі три етапи репетиційного тестування з фізики та математики. Кожен РТ можна відвідувати по два рази, щоб вирішувати обидва варіанти. Знову ж таки на ЦТ, крім уміння швидко і якісно вирішувати завдання, і знання формул і методів необхідно також вміти правильно спланувати час, розподілити сили, а головне правильно заповнити бланк відповідей, не переплутавши ні номера відповідей і завдань, ні власне прізвище. Також у ході РТ важливо звикнути до стилю постановки питань у завданнях, що на ЦТ може здатися непідготовленій людині дуже незвичним.

Успішне, старанне та відповідальне виконання цих трьох пунктів, а також відповідальне опрацювання підсумкових тренувальних тестів дозволить Вам показати на ЦТ відмінний результатмаксимальний з того, на що Ви здатні.

Знайшли помилку?

Якщо Ви, як Вам здається, знайшли помилку в навчальних матеріалах, напишіть, будь ласка, про неї на електронну пошту (). У листі вкажіть предмет (фізика чи математика), назву чи номер теми чи тесту, номер завдання, чи місце у тексті (сторінку) де на Вашу думку є помилка. Також опишіть у чому полягає ймовірна помилка. Ваш лист не залишиться непоміченим, помилка або буде виправлена, або Вам роз'яснять, чому це не помилка.

Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб побудувати графік функції,нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити в рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k менше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a перестав бути функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значення функції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Побудувати функцію

Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення функцій, що вводяться
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
• Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків за точками, використання констант
• Побудова одночасно кількох графіків функцій
• Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.

Основні елементарні функції, притаманні їм якості та відповідні графіки – одні з азів математичних знань, схожих за рівнем важливості з таблицею множення. Елементарні функції є основою, опорою вивчення всіх теоретичних питань.

Стаття нижче дає ключовий матеріал на тему основних елементарних функцій. Ми введемо терміни, дамо їм визначення; докладно вивчимо кожен вид елементарних функцій, розберемо їх властивості.

Виділяють такі види основних елементарних функцій:

Визначення 1

• постійна функція (константа);
• корінь n-ого ступеня;
• статечна функція;
• показова функція;
• логарифмічна функція;
• тригонометричні функції;
• братні тригонометричні функції.

Постійна функція визначається формулою: y = C (C - якесь дійсне число) і має також назву: константа. Ця функція визначає відповідність будь-якому дійсному значенню незалежної змінної x одного і того ж значення змінної y значення C .

Графік константи - це пряма, яка паралельна осі абсцис і проходить через точку, що має координати (0, С). Для наочності наведемо графіки постійних функцій y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (на кресленні позначено чорним, червоним та синім кольорами відповідно).

Визначення 2

Ця елементарна функція визначається формулою y = x n (n – натуральне числобільше одиниці).

Розглянемо дві варіації функції.

1. Корінь n-го ступеня, n – парне число

Для наочності вкажемо креслення, у якому зображені графіки таких функций: y = x , y = x 4 і y = x8. Ці функції позначені кольором: чорний, червоний та синій відповідно.

Схожий вигляд у графіків функції парного ступеня за інших значень показника.

Визначення 3

Властивості функції корінь n-ого ступеня, n – парне число

• область визначення - безліч всіх невід'ємних дійсних чисел [0, + ∞);
• коли x = 0, функція y = x n має значення, що дорівнює нулю;
• дана функція-функціязагального виду (не є ні парною, ні непарною);
• область значень: [0, + ∞);
• дана функція y = x n при парних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має опуклість з напрямком вгору по всій області визначення;
• відсутні точки перегину;
• асимптоти відсутні;
• графік функції при парних n проходить через точки (0; 0) і (1; 1).

1. Корінь n-го ступеня, n – непарне число

Така функція визначена на всій множині дійсних чисел. Для наочності розглянемо графіки функцій y = x 3 , y = x 5 і х 9 . На кресленні вони позначені кольорами: чорний, червоний та синій кольори кривих відповідно.

Інші непарні значення показника кореня функції y = xn дадуть графік аналогічного виду.

Визначення 4

Властивості функції корінь n-го ступеня, n – непарне число

• область визначення - безліч всіх дійсних чисел;
• дана функція – непарна;
• область значень – безліч усіх дійсних чисел;
• функція y = x n при непарних показниках кореня зростає по всій області визначення;
• функція має увігнутість на проміжку (- ∞ ; 0 ) і опуклість на проміжку [ 0 , + ∞) ;
• точка перегину має координати (0; 0);
• асимптоти відсутні;
• графік функції при непарних n проходить через точки (-1; - 1), (0; 0) і (1; 1).

Ступінна функція

Визначення 5

Ступінна функція визначається формулою y = x a.

Вигляд графіків та властивості функції залежать від значення показника ступеня.

• коли статечна функція має цілий показник a , то вид графіка статечної функції та її властивості залежать від того, парний чи непарний показник ступеня, а також того, який знак має показник ступеня. Розглянемо всі ці окремі випадки докладніше нижче;
• показник ступеня може бути дробовим чи ірраціональним – залежно від цього також варіюється вид графіків та властивості функції. Ми розберемо окремі випадки, поставивши кілька умов: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• статечна функція може мати нульовий показник, цей випадок також нижче розберемо докладніше.

Розберемо статечну функцію y = x a , коли a – непарне позитивне число, наприклад, a = 1 , 3 , 5 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x (чорний колір графіка), y = x 3 (синій колір графіка), y = x 5 (червоний колір графіка), y = x7 (зелений колір графіка). Коли a = 1, отримуємо лінійну функцію y = x.

Визначення 6

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний позитивний

• функція є зростаючою за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і увігнутість при x ∈ [ 0 ; + ∞) (виключаючи лінійну функцію);
• точка перегину має координати (0; 0) (виключаючи лінійну функцію);
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Розберемо статечну функцію y = x a коли а – парне позитивне число, наприклад, a = 2 , 4 , 6 …

Для наочності вкажемо графіки таких статечних функцій: y = x 2 (чорний колір графіка), y = x 4 (синій колір графіка), y = x 8 (червоний колір графіка). Коли a = 2 отримуємо квадратичну функцію, графік якої – квадратична парабола.

Визначення 7

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний позитивний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• спадаючою при x ∈ (- ∞; 0];
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• окуляри перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – непарне від'ємне число: y = x – 9 (чорний колір графіка); y = x – 5 (синій колір графіка); y = x – 3 (червоний колір графіка); y = x – 1 (зелений колір графіка). Коли a = - 1 отримуємо зворотну пропорційність, графік якої - гіпербола.

Визначення 8

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – непарний негативний:

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1, - 3, - 5, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• область значень: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функція є непарною, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (- ∞ ; 0) і увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли а = - 1, - 3, - 5,. . . .

• точки проходження функції: (- 1; - 1), (1; 1).

На малюнку нижче наведено приклади графіків статечної функції y = x a , коли a – парне від'ємне число: y = x – 8 (чорний колір графіка); y = x – 4 (синій колір графіка); y = x – 2 (червоний колір графіка).

Визначення 9

Властивості статечної функції, коли показник ступеня – парний негативний:

• область визначення: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Коли х = 0 отримуємо розрив другого роду, оскільки lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2, - 4, - 6, …. Отже, пряма x = 0 – вертикальна асимптота;

• функція є парною, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ (- ∞ ; 0) і спадною при x ∈ 0 ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0, оскільки:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, коли a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• точки проходження функції: (- 1; 1), (1; 1).

З самого початку зверніть увагу на наступний аспект: у випадку, коли a – позитивний дріб з непарним знаменником, деякі автори приймають за область визначення цієї статечної функції інтервал - ∞; + ∞ , застерігаючи при цьому, що показник a – нескоротний дріб. На даний момент автори багатьох навчальних видань з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції, де показник – дріб з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримаємося саме такої позиції: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними позитивними показниками ступеня безліч [0; + ∞). Рекомендація для учнів: з'ясувати погляд викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Отже, розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – раціональне чи ірраціональне число за умови, що 0< a < 1 .

Проілюструємо графіками статечні функції y = x a коли а = 11 12 (чорний колір графіка); a = 5 7 (червоний колір графіка); a = 13 (синій колір графіка); a = 2 5 (зелений колір графіка).

Інші значення показника ступеня a (за умови 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Визначення 10

Властивості статечної функції при 0< a < 1:

• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має опуклість при x ∈ (0; + ∞);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Розберемо статечну функцію y = x a , коли показник ступеня – неціле раціональне чи ірраціональне число за умови, що a > 1 .

Проілюструємо графіками статечну функцію y = x a у заданих умовах на прикладі таких функцій: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (чорний, червоний, синій, зелений колір графіків відповідно).

Інші значення показника ступеня, а за умови a > 1, дадуть схожий вид графіка.

Визначення 11

Властивості статечної функції при a > 1:

• область визначення: x ∈ [0; + ∞);
• область значень: y ∈ [0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є зростаючою при x ∈ [0; + ∞);
• функція має увігнутість при x ∈ (0 ; + ∞) (коли 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точки проходження функції: (0; 0), (1; 1).

Звертаємо вашу увагу! Коли a – негативний дріб з непарним знаменником, у роботах деяких авторів зустрічається погляд, що область визначення в даному випадку – інтервал - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) із застереженням, що показник ступеня a – нескоротний дріб. На даний момент автори навчальних матеріалів з алгебри та початків аналізу НЕ ВИЗНАЧАЮТЬ статечні функції з показником у вигляді дробу з непарним знаменником при негативних значеннях аргументу. Далі ми дотримуємося саме такого погляду: візьмемо за область визначення статечних функцій з дрібними негативними показниками безліч (0; + ∞). Рекомендація для учнів: уточніть бачення вашого викладача на цей момент, щоб уникнути розбіжностей.

Продовжуємо тему та розбираємо статечну функцію y = x a за умови: - 1< a < 0 .

Наведемо креслення графіків наступних функцій: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (чорний, червоний, синій, зелений колір ліній відповідно).

Визначення 12

Властивості статечної функції при - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ 0; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• точки перегину відсутні;

На кресленні нижче наведені графіки статечних функцій y = x - 5 4 y = x - 5 3 y = x - 6 y = x - 24 7 (чорний, червоний, синій, зелений кольорикривих відповідно).

Визначення 13

Властивості статечної функції при a< - 1:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , коли a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• функція є спадною при x ∈ 0; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0;
• точка проходження функції: (1; 1) .

Коли a = 0 і х ≠ 0 отримаємо функцію y = x 0 = 1 , що визначає пряму, з якої виключена точка (0 ; 1) (умовилися, що виразу 0 0 не надаватиметься ніякого значення).

Показова функція має вигляд y = a x , де а > 0 і а ≠ 1 і графік цієї функції виглядає по-різному, виходячи зі значення підстави a . Розглянемо окремі випадки.

Спочатку розберемо ситуацію, коли основа показової функції має значення від нуля до одиниці (0< a < 1) . Наочним прикладомпослужать графіки функцій при a = 1 2 (синій колір кривої) та a = 5 6 (червоний колір кривої).

Подібний вигляд матимуть графіки показової функції за інших значень основи за умови 0< a < 1 .

Визначення 14

Властивості показової функції, коли основа менше одиниці:

• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа менше одиниці, є спадною по всій області визначення;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне + ∞;

Тепер розглянемо випадок, коли основа показової функції більше ніж одиниця (а > 1) .

Проілюструємо цей окремий випадок графіком показових функцій y = 3 2 x (синій колір кривої) та y = e x (червоний колір графіка).

Інші значення основи, великі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка показової функції.

Визначення 15

Властивості показової функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення - все безліч дійсних чисел;
• область значень: y ∈ (0; + ∞);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• показова функція, у якої основа більша за одиницю, є зростаючою при x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція має увігнутість при x ∈ - ∞; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• горизонтальна асимптота - пряма y = 0 при змінній x, що прагне до - ∞;
• точка проходження функції: (0; 1) .

Логарифмічна функція має вигляд y = log a (x), де a > 0, a ≠ 1 .

Така функція визначена лише за позитивних значень аргументу: при x ∈ 0 ; + ∞.

Графік логарифмічної функції має різний вигляд, виходячи із значення основи а.

Розглянемо спочатку ситуацію, коли 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Інші значення підстави, невеликі одиниці, дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 16

Властивості логарифмічної функції, коли основа менше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне до нуля праворуч, значення функції прагнуть + ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна
• функція має увігнутість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;

Тепер розберемо окремий випадок, коли основа логарифмічної функції більше одиниці: а > 1 . На кресленні нижче – графіки логарифмічних функцій y = log 3 2 x і y = ln x (синій та червоний кольори графіків відповідно).

Інші значення основи більше одиниці дадуть аналогічний вид графіка.

Визначення 17

Властивості логарифмічної функції, коли основа більше одиниці:

• область визначення: x ∈ 0; + ∞. Коли х прагне нуля праворуч, значення функції прагнуть до - ∞ ;
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞ (все безліч дійсних чисел);
• дана функція - функція загального виду (не є ні непарною, ні парною);
• логарифмічна функція є зростаючою при x ∈ 0; + ∞;
• функція має опуклість при x ∈ 0; + ∞;
• точки перегину відсутні;
• асимптоти відсутні;
• точка проходження функції: (1; 0) .

Тригонометричні функції – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Розберемо властивості кожної з них та відповідні графіки.

Загалом всім тригонометричних функцій характерна властивість періодичності, тобто. коли значення функцій повторюються при різних значеннях аргументу, що відрізняються один від одного на величину періоду f(x + T) = f(x) (T – період). Таким чином, у списку властивостей тригонометричних функцій додається пункт найменший позитивний період. Крім цього, будемо вказувати такі значення аргументу, у яких відповідна функція перетворюється на нуль.

1. Функція синусу: y = sin (х)

Графік цієї функції називається синусоїда.

Визначення 18

Властивості функції синус:

• область визначення: всі множини дійсних чисел x ∈ - ∞ ; + ∞;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• функція є зростаючою при x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція синус має локальні максимуми в точках π 2 + 2 π · k; 1 і локальні мінімуми в точках - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• функція синус увігнута, коли x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• асимптоти відсутні.

1. Функція косинус: y = cos(х)

Графік цієї функції називається косінусоїда.

Визначення 19

Властивості функції косинус:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• найменший позитивний період: Т = 2 π;
• область значень: y ∈ - 1; 1;
• дана функція – парна, оскільки y(-x) = y(x);
• функція є зростаючою при x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z і спадної при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k, k ∈ Z;
• функція косинус має локальні максимуми в точках 2 π · k; 1 , k ∈ Z та локальні мінімуми в точках π + 2 π · k ; - 1, k ∈ z;
• функція косинус увігнута, коли x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z і опукла, коли x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• асимптоти відсутні.

1. Функція тангенс: y = tg(х)

Графік цієї функції називається тангенсоїду.

Визначення 20

Властивості функції тангенс:

• область визначення: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , де k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• Поведінка функції тангенс на межі області визначення lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким чином, прямі x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою при - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• функція тангенс є увігнутою при x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z і опуклою при x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• точки перегину мають координати π · k; 0, k ∈ Z;

1. Функція котангенс: y = ctg(х)

Графік цієї функції називається котангенсоіда .

Визначення 21

Властивості функції котангенс:

• область визначення: x ∈ (π · k ; π + π · k) , де k ∈ Z (Z - безліч цілих чисел);

Поведінка функції котангенсу на межі області визначення lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким чином, прямі x = π · k k ∈ Z – вертикальні асимптоти;

• найменший позитивний період: Т = π;
• функція перетворюється на нуль, коли x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – безліч цілих чисел);
• область значень: y ∈ - ∞; + ∞;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є спадною при x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ Z;
• функція котангенс є увігнутою при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z і опуклою при x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• точки перегину мають координати π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• похилі та горизонтальні асимптоти відсутні.

Зворотні тригонометричні функції – це арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Найчастіше у зв'язку з наявністю приставки «арк» у назві зворотні тригонометричні функції називають аркфункціями. .

1. Функція арксинус: y = a r c sin (x)

Визначення 22

Властивості функції арксинус:

• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція арксинус має увігнутість при x ∈ 0; 1 і опуклість при x ∈ - 1; 0;
• точки перегину мають координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арккосинус: y = r c cos (х)

Визначення 23

Властивості функції арккосинус:

• область визначення: x ∈ - 1; 1;
• область значень: y ∈ 0; π;
• дана функція - загального виду (ні парна, ні непарна);
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккосинус має увігнутість при x ∈ - 1; 0 і опуклість при x ∈ 0; 1;
• точки перегину мають координати 0; π 2;
• асимптоти відсутні.

1. Функція арктангенс: y = r c t g (х)

Визначення 24

Властивості функції арктангенс:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ - π 2; π 2;
• дана функція - непарна, оскільки y(-x) = -y(x);
• функція є зростаючою по всій області визначення;
• функція арктангенс має увігнутість при x ∈ (- ∞ ; 0 ) і опуклість при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• точка перегину має координати (0 ; 0), вона ж – нуль функції;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = - π 2 за x → - ∞ і y = π 2 за x → + ∞ (на малюнку асимптоти – це лінії зеленого кольору).

1. Функція арккотангенс: y = r c c t g (х)

Визначення 25

Властивості функції арккотангенсу:

• область визначення: x ∈ - ∞; + ∞;
• область значень: y ∈ (0; π);
• дана функція – загального виду;
• функція є спадною по всій області визначення;
• функція арккотангенс має увігнутість при x ∈ [0; + ∞) і опуклість при x ∈ (- ∞; 0];
• точка перегину має координати 0; π 2;
• горизонтальні асимптоти – прямі y = π при x → - ∞ (на кресленні – лінія зеленого кольору) та y = 0 при x → + ∞ .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter