Udhëzimet

Le të hidhet një trup në një kënd α në horizont me një shpejtësi fillestare v0. Le të jenë zero koordinatat fillestare të trupit: x(0)=0, y(0)=0. Në projeksionet në boshtet e koordinatave, shpejtësia fillestare do të zbërthehet në dy komponentë: v0(x) dhe v0(y). E njëjta shpejtësi në përgjithësi. Përgjatë boshtit Ox, shpejtësia konvencionalisht konsiderohet konstante, ndërsa përgjatë boshtit Oy ndryshon nën ndikimin e . Përshpejtimi i gravitetit g mund të merret përafërsisht 10 m/s².

Këndi α në të cilin hidhet trupi nuk jepet rastësisht. Nëpërmjet tij mund të përshkruani shpejtësinë fillestare në akset koordinative. Kështu, v0(x)=v0·cos(α), v0(y)=v0·sin(α). Tani mund të marrim funksionin e komponentëve të koordinatave të shpejtësisë: v(x)=const=v0(x)=v0·cos(α), v(y)=v0(y)-g·t=v0·sin( α)-g· t.

Koordinatat x dhe y të trupit varen nga koha t. Kështu, ne mund të krijojmë dy ekuacione varësie: x=x0+v0(x) t+a(x) t²/2, y=y0+v0(y) t+a(y) t²/2. Meqenëse x0=0, a(x)=0, atëherë x=v0(x) t=v0 cos(α) t. Dihet gjithashtu se y0=0, a(y)=-g (shfaqet shenja “ ” sepse drejtimi i nxitimit të gravitetit g dhe drejtimi pozitiv i boshtit Oy janë të kundërta). Prandaj y=v0·sin(α)·t-g·t²/2.

Koha e fluturimit mund të shprehet nga formula e shpejtësisë, duke ditur që në pikën maksimale trupi ndalon për një çast (v = 0), dhe kohëzgjatjet e "ngritjes" dhe "zbritjes" janë të barabarta. Pra, kur zëvendësohet v(y)=0 në ekuacionin v(y)=v0·sin(α)-g·t rezulton: 0=v0·sin(α)-g·t(p), ku t. (p) – koha e pikut, “t kulm”. Prandaj t(p)=v0·sin(α)/g. Koha totale e fluturimit do të shprehet më pas si t=2·v0·sin(α)/g.

E njëjta formulë mund të merret në një mënyrë tjetër, matematikisht, nga ekuacioni i koordinatës y=v0·sin(α)·t-g·t²/2. Ky ekuacion mund të rishkruhet në një formë paksa të modifikuar: y=-g/2·t²+v0·sin(α)·t. Mund të shihet se kjo është një varësi kuadratike, ku y është një funksion, t është një argument. Kulmi i parabolës që përshkruan trajektoren është pika t(p)=[-v0·sin(α)]/[-2g/2]. Minuset dhe dyshe anulohen, pra t(p)=v0·sin(α)/g. Nëse lartësinë maksimale e shënojmë si H dhe kujtojmë se pika e pikut është kulmi i parabolës përgjatë së cilës lëviz trupi, atëherë H=y(t(p))=v0²sin²(α)/2g. Kjo do të thotë, për të marrë lartësinë, duhet të zëvendësoni "kulmin t" në ekuacionin për koordinatën y.

Pra, koha e fluturimit shkruhet si t=2·v0·sin(α)/g. Për ta ndryshuar atë, duhet të ndryshoni shpejtësinë fillestare dhe këndin e prirjes në përputhje me rrethanat. Sa më e lartë të jetë shpejtësia, aq më gjatë fluturon trupi. Me një kënd është disi më e ndërlikuar, sepse koha nuk varet nga vetë këndi, por nga sinusi i tij. Vlera maksimale e mundshme e sinusit - uniteti - arrihet në një kënd të pjerrësisë prej 90°. Kjo do të thotë që një trup fluturon më gjatë kur hidhet vertikalisht lart.

Gama e fluturimit është koordinata përfundimtare x. Nëse e zëvendësojmë kohën e gjetur tashmë të fluturimit në ekuacionin x=v0·cos(α)·t, atëherë është e lehtë të gjejmë se L=2v0²sin(α)cos(α)/g. Këtu mund të aplikojmë formulën trigonometrike të këndit të dyfishtë 2sin(α)cos(α)=sin(2α), pastaj L=v0²sin(2α)/g. Sinusi i dy alfave është i barabartë me një kur 2α=n/2, α=n/4. Kështu, diapazoni i fluturimit është maksimal nëse trupi hidhet në një kënd prej 45°.

Kjo është një detyrë krijuese për një klasë master në shkencat kompjuterike për nxënësit e shkollave në FEFU.
Qëllimi i detyrës është të zbuloni se si do të ndryshojë trajektorja e trupit nëse merret parasysh rezistenca e ajrit. Është gjithashtu e nevojshme t'i përgjigjemi pyetjes nëse distanca e fluturimit do të arrijë akoma vlerën e saj maksimale në një kënd hedhjeje prej 45 °, nëse merret parasysh rezistenca e ajrit.

Seksioni "Kërkim analitik" përshkruan teorinë. Ky seksion mund të anashkalohet, por duhet të jetë kryesisht i qartë për ju sepse... O Shumicën e kësaj e keni mësuar në shkollë.
Seksioni "Studimi numerik" përmban një përshkrim të algoritmit që duhet të zbatohet në një kompjuter. Algoritmi është i thjeshtë dhe konciz, kështu që të gjithë duhet të jenë në gjendje ta bëjnë atë.

Hulumtim analitik

Le të prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor siç tregohet në figurë. Në momentin fillestar të kohës një trup me masë m ndodhet në origjinë. Vektori i nxitimit të rënies së lirë drejtohet vertikalisht poshtë dhe ka koordinata (0, - g).
- vektori i shpejtësisë fillestare. Le ta zgjerojmë këtë vektor në bazën e tij: . Këtu, ku është madhësia e vektorit të shpejtësisë, është këndi i hedhjes.

Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit: .
Nxitimi në çdo moment të kohës është shpejtësia (e menjëhershme) e ndryshimit të shpejtësisë, domethënë derivati ​​i shpejtësisë në lidhje me kohën: .

Prandaj, ligji i 2-të i Njutonit mund të rishkruhet si më poshtë:
, ku është rezultati i të gjitha forcave që veprojnë në trup.
Meqenëse forca e gravitetit dhe forca e rezistencës së ajrit veprojnë në trup, atëherë
.

Ne do të shqyrtojmë tre raste:
1) Forca e rezistencës së ajrit është 0: .
2) Forca e rezistencës së ajrit drejtohet në mënyrë të kundërt me vektorin e shpejtësisë, dhe madhësia e saj është në proporcion me shpejtësinë: .
3) Forca e rezistencës së ajrit drejtohet në mënyrë të kundërt me vektorin e shpejtësisë dhe madhësia e saj është proporcionale me katrorin e shpejtësisë: .

Le të shqyrtojmë së pari rastin e parë.
Në këtë rast , ose .


Nga kjo rrjedh se (lëvizje e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme).
sepse ( r- vektori i rrezes), pastaj .
Nga këtu .
Kjo formulë nuk është gjë tjetër veçse formula e njohur për ligjin e lëvizjes së një trupi gjatë lëvizjes së përshpejtuar uniformisht.
Që atëherë .
Duke marrë parasysh që të dyja , marrim barazi skalare nga barazia e fundit vektoriale:

Le të analizojmë formulat që rezultojnë.
Le të gjejmë koha e fluturimit Trupat. Duke barazuar y në zero, marrim

Gama e fluturimit e barabartë me vlerën e koordinatave x në një moment në kohë t 0:

Nga kjo formulë del se diapazoni maksimal i fluturimit arrihet në .
Tani le të gjejmë ekuacioni i traktorit të trupit. Për ta bërë këtë, le të shprehemi t përmes x

Dhe le të zëvendësojmë shprehjen që rezulton t në barazi për y.

Funksioni që rezulton y(x) është një funksion kuadratik, grafiku i tij është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë.
Lëvizja e një trupi të hedhur në një kënd me horizontin (pa marrë parasysh rezistencën e ajrit) përshkruhet në këtë video.

Tani merrni parasysh rastin e dytë: .

Ligji i dytë merr formën ,
nga këtu .
Le ta shkruajmë këtë barazi në formë skalare:

Ne kemi dy ekuacione diferenciale lineare.
Ekuacioni i parë ka një zgjidhje

Kjo mund të verifikohet duke e zëvendësuar këtë funksion në ekuacionin për v x dhe në gjendjen fillestare .
Këtu e = 2.718281828459... është numri i Euler-it.
Ekuacioni i dytë ka një zgjidhje

Sepse , , atëherë në prani të rezistencës së ajrit lëvizja e trupit priret të jetë e njëtrajtshme, në ndryshim nga rasti 1, kur shpejtësia rritet pa kufi.
Videoja e mëposhtme thotë se parashutisti së pari lëviz me një ritëm të përshpejtuar, dhe më pas fillon të lëvizë në mënyrë të barabartë (edhe para se të hapet parashuta).

Le të gjejmë shprehje për x Dhe y.
Sepse x(0) = 0, y(0) = 0, atëherë

Na mbetet të shqyrtojmë rastin 3, kur .
Ligji i dytë i Njutonit ka formën
, ose .
Në formë skalare, ky ekuacion duket si ky:

Kjo sistemi i ekuacioneve diferenciale jolineare. Ky sistem nuk mund të zgjidhet në mënyrë eksplicite, prandaj duhet përdorur simulimi numerik.

Studim numerik

Në pjesën e mëparshme pamë se në dy rastet e para ligji i lëvizjes së një trupi mund të merret në formë të qartë. Megjithatë, në rastin e tretë është e nevojshme që problemi të zgjidhet numerikisht. Duke përdorur metoda numerike do të marrim vetëm një zgjidhje të përafërt, por do të jemi mjaft të kënaqur me një saktësi të vogël. (Numri π ose rrënja katrore e 2, nga rruga, nuk mund të shkruhet absolutisht saktësisht, kështu që kur llogariten, ata marrin një numër të fundëm shifrash, dhe kjo është mjaft e mjaftueshme.)

Ne do të shqyrtojmë rastin e dytë, kur forca e rezistencës së ajrit përcaktohet nga formula . Vini re se kur k= 0 marrim rastin e parë.

Shpejtësia e trupit u bindet ekuacioneve të mëposhtme:

Komponentët e nxitimit shkruhen në anën e majtë të këtyre ekuacioneve .
Kujtoni se nxitimi është shpejtësia (e menjëhershme) e ndryshimit të shpejtësisë, domethënë derivati ​​i shpejtësisë në lidhje me kohën.
Anët e djathtë të ekuacioneve përmbajnë komponentët e shpejtësisë. Kështu, këto ekuacione tregojnë se si shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë lidhet me shpejtësinë.

Le të përpiqemi të gjejmë zgjidhje për këto ekuacione duke përdorur metoda numerike. Për ta bërë këtë, ne prezantojmë në boshtin kohor rrjetë: le të zgjedhim një numër dhe të shqyrtojmë momentet kohore të formës: .

Detyra jonë është të llogarisim përafërsisht vlerat në nyjet e rrjetit.

Le të zëvendësojmë nxitimin në ekuacionet ( shpejtësia e menjëhershme shpejtësia ndryshon) nga Shpejtësia mesatare ndryshimet në shpejtësi, duke marrë parasysh lëvizjen e një trupi gjatë një periudhe kohore:

Tani le t'i zëvendësojmë përafrimet e marra në ekuacionet tona.

Formulat që rezultojnë na lejojnë të llogarisim vlerat e funksioneve në nyjen tjetër të rrjetit, nëse dihen vlerat e këtyre funksioneve në nyjen e mëparshme të rrjetit.

Duke përdorur metodën e përshkruar, ne mund të marrim një tabelë të vlerave të përafërta të komponentëve të shpejtësisë.

Si të gjendet ligji i lëvizjes së trupit, d.m.th. tabela e vlerave të përafërta të koordinatave x(t), y(t)? Po kështu!
Ne kemi

Vlera e vx[j] është e barabartë me vlerën e funksionit dhe e njëjtë për vargjet e tjera.
Tani mbetet vetëm të shkruajmë një lak, brenda të cilit do të llogarisim vx përmes vlerës tashmë të llogaritur vx[j], dhe e njëjta gjë me pjesën tjetër të vargjeve. Cikli do të jetë j nga 1 në N.
Mos harroni të inicializoni vlerat fillestare vx, vy, x, y sipas formulave, x 0 = 0, y 0 = 0.

Në Pascal dhe C, ekzistojnë funksionet sin(x) dhe cos(x) për llogaritjen e sinusit dhe kosinusit. Vini re se këto funksione marrin një argument në radianë.

Duhet të ndërtoni një grafik të lëvizjes së trupit gjatë k= 0 dhe k> 0 dhe krahasoni grafikët që rezultojnë. Grafikët mund të krijohen në Excel.
Vini re se formulat e llogaritjes janë aq të thjeshta sa mund të përdorni vetëm Excel për llogaritjet dhe as të mos përdorni një gjuhë programimi.
Sidoqoftë, në të ardhmen do t'ju duhet të zgjidhni një problem në CATS, në të cilin duhet të llogaritni kohën dhe diapazonin e fluturimit të një trupi, ku nuk mund të bëni pa një gjuhë programimi.

Ju lutemi vini re se mundeni provë programin tuaj dhe kontrolloni grafikët tuaj duke krahasuar rezultatet e llogaritjes kur k= 0 me formulat e sakta të dhëna në rubrikën “Studim analitik”.

Eksperimentoni me programin tuaj. Sigurohuni që nëse nuk ka rezistencë ajri ( k= 0) diapazoni maksimal i fluturimit me një shpejtësi fillestare fikse arrihet në një kënd prej 45°.
Po në lidhje me rezistencën e ajrit? Në çfarë këndi arrihet diapazoni maksimal i fluturimit?

Figura tregon trajektoret e trupit në v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 dhe 1 të marra nga simulimi numerik në Δ t = 0,01.

Ju mund të njiheni me punën e mrekullueshme të nxënësve të klasës së 10-të nga Troitsk, të paraqitur në konferencën "Start in Science" në 2011. Puna i kushtohet modelimit të lëvizjes së një topi tenisi të hedhur në një kënd me horizontin (duke marrë parasysh ajrin rezistencë). Përdoren si modelimi numerik ashtu edhe eksperimenti në shkallë të plotë.

Kështu, kjo detyrë krijuese ju lejon të njiheni me metodat e modelimit matematik dhe numerik, të cilat përdoren në mënyrë aktive në praktikë, por studiohen pak në shkollë. Për shembull, këto metoda u përdorën në zbatimin e projekteve bërthamore dhe hapësinore në BRSS në mesin e shekullit të 20-të.

Kur studiojnë lëvizje mekanike në fizikë, pastaj pasi njihen me lëvizjen uniforme dhe të përshpejtuar të njëtrajtshme të objekteve, ata kalojnë në shqyrtimin e lëvizjes së një trupi në një kënd me horizontin. Në këtë artikull ne do ta studiojmë këtë çështje në më shumë detaje.

Cila është lëvizja e një trupi në një kënd në horizontale?

Ky lloj i lëvizjes së objektit ndodh kur një person hedh një gur në ajër, një top qëllon një top ose një portier largon një top futbolli nga porta. Të gjitha rastet e tilla konsiderohen nga shkenca e balistikës.

Lloji i shënuar i lëvizjes së objekteve në ajër ndodh përgjatë një trajektoreje parabolike. Në rastin e përgjithshëm, kryerja e llogaritjeve përkatëse nuk është një çështje e thjeshtë, pasi është e nevojshme të merret parasysh rezistenca e ajrit, rrotullimi i trupit gjatë fluturimit, rrotullimi i Tokës rreth boshtit të saj dhe disa faktorë të tjerë.

Në këtë artikull ne nuk do të marrim parasysh të gjithë këta faktorë, por do ta shqyrtojmë çështjen nga një këndvështrim thjesht teorik. Megjithatë, formulat që rezultojnë përshkruajnë mjaft mirë trajektoret e trupave që lëvizin në distanca të shkurtra.

Marrja e formulave për llojin e lëvizjes në shqyrtim

Le t'i sjellim trupat në horizont në një kënd. Në këtë rast, ne do të marrim parasysh vetëm një forcë të vetme që vepron në një objekt fluturues - graviteti. Duke qenë se ai vepron vertikalisht poshtë (paralelisht dhe kundër boshtit y), atëherë, duke marrë parasysh komponentët horizontale dhe vertikale të lëvizjes, mund të themi se i pari do të ketë karakterin e lëvizjes drejtvizore uniforme. Dhe e dyta - lëvizja drejtvizore në mënyrë të njëtrajtshme (e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme) me nxitim g. Kjo do të thotë, komponentët e shpejtësisë përmes vlerës v 0 (shpejtësia fillestare) dhe θ (këndi i drejtimit të lëvizjes së trupit) do të shkruhen si më poshtë:

v x = v 0 *cos(θ)

v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Formula e parë (për v x) është gjithmonë e vlefshme. Sa i përket të dytës, këtu duhet të theksohet një nuancë: shenja minus vendoset përpara produktit g*t vetëm nëse komponenti vertikal v 0 *sin(θ) drejtohet lart. Në shumicën e rasteve, kjo është ajo që ndodh, megjithatë, nëse hedhni një trup nga një lartësi, duke e drejtuar poshtë, atëherë në shprehjen për v y duhet të vendosni një shenjë "+" përpara g*t.

Pasi kemi integruar formulat për komponentët e shpejtësisë me kalimin e kohës dhe duke marrë parasysh lartësinë fillestare h të fluturimit të trupit, marrim ekuacione për koordinatat:

x = v 0 *cos(θ)*t

y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Llogaritja e diapazonit të fluturimit

Kur shqyrtojmë në fizikë lëvizjen e një trupi drejt horizontit në një kënd të dobishëm për zbatim praktik, rezulton të jetë llogaritja e diapazonit të fluturimit. Le ta përcaktojmë.

Meqenëse kjo lëvizje është një lëvizje uniforme pa nxitim, mjafton të zëvendësohet koha e fluturimit në të dhe të merret rezultati i dëshiruar. Gama e fluturimit përcaktohet vetëm nga lëvizja përgjatë boshtit x (paralel me horizontin).

Koha që një trup qëndron në ajër mund të llogaritet duke vendosur koordinatën y në zero. Ne kemi:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Ne e zgjidhim këtë ekuacion kuadratik përmes diskriminuesit, marrim:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,

t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =

= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Në shprehjen e fundit, një rrënjë me shenjë minus hidhet poshtë për shkak të rëndësisë fizike të parëndësishme. Duke zëvendësuar kohën e fluturimit t në shprehjen për x, marrim diapazonin e fluturimit l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Mënyra më e lehtë për të analizuar këtë shprehje është nëse lartësia fillestare është zero (h=0), atëherë marrim një formulë të thjeshtë:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Kjo shprehje tregon se diapazoni maksimal i fluturimit mund të merret nëse trupi hidhet në një kënd prej 45 o (sin(2*45 o) = m1).

Lartësia maksimale e ngritjes

Përveç distancës së fluturimit, është gjithashtu e dobishme të gjesh lartësinë mbi tokë në të cilën mund të ngrihet trupi. Meqenëse kjo lloj lëvizjeje përshkruhet nga një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë, lartësia maksimale e ngritjes është ekstremi i saj. Kjo e fundit llogaritet duke zgjidhur ekuacionin për derivatin t të y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>

=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Duke e zëvendësuar këtë kohë në ekuacionin për y, marrim:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).

Kjo shprehje tregon se trupi do të ngrihet në lartësinë e tij maksimale nëse hidhet vertikalisht lart (sin 2 (90 o) = 1).

Në këtë artikull do të shqyrtojmë analizën e një situate ku një trup hidhet në një kënd në horizontale. Kjo mund të jetë hedhja e një guri me dorë, gjuajtja e një predhe nga një top, hedhja e një shigjete nga një hark, e kështu me radhë. Të gjitha këto situata përshkruhen në të njëjtën mënyrë nga pikëpamja matematikore.

Veçori e lëvizjes në një kënd në horizontale

Cilat janë ngjashmëritë midis shembujve të mësipërm nga pikëpamja e fizikës? Ai qëndron në natyrën e forcave që veprojnë në trup. Gjatë fluturimit të lirë të një trupi, vetëm dy forca veprojnë mbi të:

• Graviteti.
• Windage.

Nëse masa e trupit është mjaft e madhe dhe forma e saj është e mprehtë (predha, shigjeta), atëherë rezistenca e ajrit mund të neglizhohet.

Kështu, lëvizja e një trupi të hedhur në një kënd me horizontin është një problem në të cilin shfaqet vetëm graviteti. Është kjo që përcakton formën e trajektores, e cila përshkruhet me saktësi të mirë nga një funksion parabolik.

Ekuacionet e lëvizjes përgjatë një trajektoreje parabolike. Shpejtësia

Trupi u hodh në një kënd me horizontin. Si mund ta përshkruani lëvizjen e tij? Meqenëse e vetmja forcë që vepron gjatë fluturimit të një trupi drejtohet poshtë, komponenti i tij horizontal është zero. Ky fakt do të thotë se lëvizja horizontale e objektit përcaktohet në mënyrë unike nga kushtet fillestare (këndi i hedhjes ose i gjuajtjes θ dhe shpejtësia v). Lëvizja vertikale e një trupi është një shembull i gjallë i lëvizjes së përshpejtuar uniformisht, ku rolin e nxitimit e luan konstantja g (9,81 m/s2).

Duke marrë parasysh sa më sipër, mund të shkruajmë dy komponentë për shpejtësinë e një trupi fluturues në kohën t:

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

Siç shihet, komponenti v x nuk varet nga koha dhe mbetet konstant gjatë gjithë rrugës së fluturimit (pasojë e mungesës së forcave të jashtme në drejtim të boshtit x). Komponenti v y ka një maksimum në momentin fillestar të kohës. Dhe pastaj fillon të ulet derisa të bëhet zero në pikën maksimale të ngritjes së trupit. Pas kësaj, ai ndryshon shenjën dhe në momentin e rënies rezulton të jetë i barabartë me modulin e komponentit fillestar v y, pra v*sin(θ).

Ekuacionet e shkruara bëjnë të mundur përcaktimin e shpejtësisë së një trupi të hedhur në një kënd me horizontalen në çdo moment t. Moduli i tij do të jetë i barabartë me:

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Ekuacionet e lëvizjes përgjatë një trajektoreje parabolike. Gama e fluturimit

Trupi u hodh në një kënd me horizontin. Sa larg do të fluturojë? Çështja e diapazonit ka të bëjë me ndryshimin e koordinatës x. Kjo vlerë mund të gjendet duke integruar të dy komponentët e shpejtësisë me kalimin e kohës. Si rezultat i integrimit marrim formulat:

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

Dallimi midis koordinatave x dhe x 0 është diapazoni i fluturimit. Nëse supozojmë se x 0 = 0, atëherë diapazoni do të jetë i barabartë me x, për të gjetur të cilin duhet të dini se sa kohë do të jetë trupi në ajër.

Ekuacioni i dytë ju lejon të llogaritni këtë kohë, me kusht që të dihet vlera y 0 (lartësia h nga e cila është hedhur trupi). Kur objekti përfundon lëvizjen e tij (bie në tokë), koordinata e tij y do të bëhet zero. Le të llogarisim kohën kur do të ndodhë kjo. Ne kemi:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

Para nesh është një barazi e plotë kuadratike. Ne e zgjidhim atë përmes diskriminuesit:

D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Ne e hedhim rrënjën negative. Ne marrim kohën e mëposhtme të fluturimit:

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Tani ne e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacionin për diapazonin e fluturimit. Ne marrim:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Nëse trupi hidhet nga toka, domethënë h = 0, atëherë kjo formulë do të thjeshtohet ndjeshëm. Dhe do të duket si kjo:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g

Shprehja e fundit është marrë duke përdorur marrëdhënien ndërmjet funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus (formula reduktuese).

Meqenëse sinusi ka një vlerë maksimale për një kënd të drejtë, atëherë diapazoni maksimal i fluturimit arrihet kur trupi hidhet (qëllohet) nga sipërfaqja e tokës në një kënd prej 45°, dhe ky diapazon është i barabartë me:

Lartësia e një trupi të hedhur në një kënd në horizontale

Tani le të përcaktojmë një tjetër parametër i rëndësishëm- lartësia në të cilën mund të ngrihet një objekt i hedhur. Natyrisht, për këtë mjafton të merret parasysh vetëm ndryshimi në koordinatën y.

Pra, një trup hidhet në një kënd me horizontin, deri në çfarë lartësie do të fluturojë lart? Kjo lartësi do të korrespondojë me barazinë e komponentit të shpejtësisë v y në zero. Kemi ekuacionin:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Le të zgjidhim ekuacionin. Ne marrim:

Tani ju duhet ta zëvendësoni këtë herë në shprehjen për koordinatën y. Ne marrim:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =

V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h

Kjo formulë tregon se lartësia maksimale, ndryshe nga diapazoni i fluturimit, merret nëse trupi hidhet rreptësisht vertikalisht (θ = 90). Në këtë rast arrijmë në formulën:

Është interesante të theksohet se në të gjitha formulat e dhëna në këtë artikull, pesha e trupit nuk shfaqet. Karakteristikat e një trajektoreje parabolike nuk varen nga ajo, por vetëm në mungesë të rezistencës së ajrit.

Teoria

Nëse një trup hidhet në një kënd me horizontin, atëherë gjatë fluturimit veprohet nga forca e gravitetit dhe forca e rezistencës së ajrit. Nëse forca e rezistencës neglizhohet, atëherë e vetmja forcë që mbetet është graviteti. Prandaj, për shkak të ligjit të 2-të të Njutonit, trupi lëviz me nxitim të barabartë me nxitimin e gravitetit; projeksionet e nxitimit në boshtet koordinative janë të barabarta një x = 0, dhe y= -g.

Çdo lëvizje komplekse e një pike materiale mund të përfaqësohet si një mbivendosje e lëvizjeve të pavarura përgjatë boshteve koordinative, dhe në drejtim të akseve të ndryshme lloji i lëvizjes mund të ndryshojë. Në rastin tonë, lëvizja e një trupi fluturues mund të përfaqësohet si mbivendosje e dy lëvizjeve të pavarura: lëvizje uniforme përgjatë boshtit horizontal (boshti X) dhe lëvizje e përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme përgjatë boshtit vertikal (boshti Y) (Fig. 1). .

Prandaj, parashikimet e shpejtësisë së trupit ndryshojnë me kalimin e kohës si më poshtë:

,

ku është shpejtësia fillestare, α është këndi i hedhjes.

Prandaj, koordinatat e trupit ndryshojnë si kjo:

Me zgjedhjen tonë të origjinës së koordinatave, koordinatat fillestare (Fig. 1) Pastaj

Vlera e dytë kohore në të cilën lartësia është zero është zero, që i përgjigjet momentit të hedhjes, d.m.th. kjo vlerë ka edhe një kuptim fizik.

Gama e fluturimit e marrim nga formula e parë (1). Gama e fluturimit është vlera e koordinatave X në fund të fluturimit, d.m.th. në një kohë të barabartë me t 0. Duke zëvendësuar vlerën (2) në formulën e parë (1), marrim:

.

(3)

Nga kjo formulë mund të shihet se diapazoni më i madh i fluturimit arrihet në një kënd hedhjeje prej 45 gradë.

Lartësia maksimale e ngritjes së trupit të hedhur mund të merret nga formula e dytë (1). Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni një vlerë kohore të barabartë me gjysmën e kohës së fluturimit (2) në këtë formulë, sepse Është në mes të trajektores që lartësia e fluturimit është maksimale. Duke kryer llogaritjet, marrim